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剪板機有限元法的基本理論


發布時間:2018-06-04 07:08:57  點擊次數:1312  來源:江海集團信息部
 

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 有限元法的基本理論

 
有限元法是當今工程上應用十分廣泛的數值計算方法,它是基于現代計算機
 
技術,來求取復雜微分方程近似解或最優解的一種十分有效的方法,也是產品數
 
字化科技的重要理論基礎。有限元法在航空領域最先得到應用,同時隨著計算機
 
技術的普及,在機械學科有限元法被廣泛應用于產品設計中,并逐漸由固體力學
 
領域向其他更多領域快速發展[31]。
 
在理論分析中,結構的離散化是有限元法的中心思路。結構離散的內容是網
 
格劃分,即把結構按一定規則分割成有限單元。除此之外,邊界處理也是結構離
 
散的核心內容,邊界處理的關鍵在于節點載荷和節點約束,主要是將模型上的作
 
用載荷和邊界約束按一定的方式處理成作用在節點上的載荷和約束。其中要求:
 
離散之后的結構需要與原有的結構保持相同的形狀,不可存有太大差別。通過這
 
種方法,可以將復雜問題轉化為簡單問題進行分析[32]。
 
空間彈性力學的基本方程[34]:
 
對于一個彈性物體來說,在表面力P和體積力q的作用下,其內部空間任
 
意一點的位移可表示成f 。
 
{ p}  { px , py , pz }T (3.1)
{q}  {qx , qy , qz }T (3.2)
{ f }  {u, v, w}T (3.3)
 
式中: Px , Py , Pz 為三維坐標下的彈性體表面力; qx , qy , qz 為三維坐標下的彈性體體積力; u , v , w 為位移分量[8]。
 
彈性體內部的應力一般由正應力 x , y , z 和剪應力 xy , yz , xz 這六個
 
應力分量來表示。應力向量為應力分量的矩陣形式,可表示為:
 
{}  [ x , y , z , xy , yz , xz ]T (3.4)
應變向量為應變分量的矩陣形式,可表示為:
{}  [x ,  y ,z ,  xy ,  yz ,  xz ]T (3.5)
 
彈性問題的矩陣方程一般由四個基本方程構成,第一個基本方程為邊界條件
 
方程,第二個基本方程為平衡方程,第三個基本方程為幾何方程,最后一個基本
 
方程為彈性本構方程。
 
(1)邊界條件
 
有一部分邊界存在已知的位移,這部分邊界稱作給定位移邊界 su 。這兩種邊界組合成彈性體的邊界,即:
 
s  s  su (3.6)
彈性體中存在著表面力的邊界,其邊界條件為:
px    x l  xy m  xz n 
(3.7)
py    xyl  y m  xy n
pz    xzl  yz m  z n 
式中 l, m, n 分別為邊界外法線和坐標系三個方向夾角的余弦。
 
對于一個彈性體,假如已知邊界約束及受力,可計算出各點位移、應變、應力。
 
(2)平衡方程
 
平衡方程
 
矩陣形式
 
微分算子矩陣 x 
(3)幾何方程
 
在線性彈性問題中,位移和應變之間的關系 z y z
幾何方程
(4)彈性本構方程
 
在彈性力學問題中,彈性本構方程
 
 D 為彈性系數,v 為泊松比, E 為彈性模量,彈性系數是由泊松比與彈性模量確定。
 

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